SSC (Class 9-10) Math: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (11-16) Part 2

SSC (Class 9-10) Math: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (11-16) Part 2

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল:

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (1-10) Part 1

১১. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 8 সেমি এবং এদের লম্ব দূরত্ব 24 সেমি। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 312 বর্গ সেমি হয় তবে বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু x সেমি

∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = x+8 সেমি

সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব h= 24 সেমি।

এর ক্ষেত্রফল = 312 সেমি

প্রশ্নমতে,

½.24(x+x+8)=312

বা,  12(2x+8)=312

বা,  24x+96=312

বা,  24x=312-96

বা,  24x=216

বা,  x=216/24

বা,  x=9

∴  ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু 9 সেমি

এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু  9+8=17 সেমি

১২. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 31 সেমি ও 11 সেমি এবং অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি ও 12 সেমি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু AB ও CD এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 31 সেমি ও 11 সেমি এবং অপর দুই বাহুর AD=10 সেমি; BC=12 সেমি। AB থেকে DC এর সমান করে AE অংশ কেটে নিই।

তাহলে, AE=CD=11 সেমি, AD=CE=10 সেমি।

∴ BE=AB-AE=31-11=20 সেমি।

এখন, △BCE এ

EB+BC+CE

=20+10+12

=42 সেমি

∴△BCE এর অর্ধ পরিসীমা s=42/2=21 সেমি

∴△BCE এর ক্ষেত্ররফল

=√{s(s-a)(s-b)(s-c)} [a,b,c ত্রিভুজের বাহুত্রয় এর দৈর্ঘ্য]

=√{21(21-20)(21-10)(21-12)}

=√21✕1✕11✕9

=√2079

=45.596 বর্গসেমি

আবার, CF , △BCE এর উচ্চতা,

∴ ½✕ভুমি✕উচ্চতা = 45.596

বা,  ½.20.CF=45.596

বা,  10CF=45.596

বা,  CF=45.596/10

বা,  CF=4.56 সেমি।

 ∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা=4.56 সেমি

 ∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

= ½✕উচ্চতা✕সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল

= ½✕4.56✕(31+11)

= ½✕4.56✕42

=95.75 বর্গ সেমি।   

১৩. একটি সুষম অষ্টভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 1.5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCDEFGH একটি সুষম অষ্টভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 8 টি সমান ক্ষেত্রবিশীষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

∴∠AOB=360⁰/8=45⁰

O কেন্দ্র বিশিষ্ট শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব, a=1.5 মিটার

∴ △AOB এর ক্ষেত্রফল

= ½✕a²✕sin45⁰

= ½✕a²✕(1/√2)

    a²

=-------

   2√2

   (1.5)²

=--------

   2√2

=0.7955 বর্গমিটার

∴সুষম অষ্টভুজের ক্ষেত্রফল=8✕0.7955 = 6.364 বর্গ মিটার।

১৪. আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 3 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে।

ক) উপরের তথ্যটি চিত্রের সাহায্যে সংক্ষিপ্ত বর্ণনা দাও।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD একটি আয়তাকার বাগান যার AB=DC=150 মি, CB=DA=100 মি। এবং বাগানের মাঝ বরাবর 3 মিটার চওড়া EFHG ও IJKL রাস্তা আছে।

খ) রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, বাগানের দৈর্ঘ্য= 150 মিটার

এবং বাগানের ক্ষেত্রফল = 100 মিটার

∴বাগানের ক্ষেত্রফল = 150✕100 = 15000 বর্গ মিটার।

আবার,

রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (150-3) মিটার = 147 মিটার

এবং রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (100-3) মিটার = 97 মিটার

∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = 147✕97 বর্গ মিটার = 14259 বর্গ মিটার

এখন রাস্তার ক্ষেত্রফল

=বাগানের ক্ষেত্রফল-রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল

=15000-14259 বর্গ মিটার

=741 বর্গ মিটার

গ) রাস্তাটি পাকা করতে 25 সেমি দৈর্ঘ্য এবং 12.5 সেমি প্রস্থবিশিষ্ট কয়টি ইটের প্রয়োজন হবে?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

ইটের দৈর্ঘ্য = সেমি

এবং প্রস্থ = সেমি

ইটের ক্ষেত্রফল

= বর্গ সেমি

      312.5

 =------------- বর্গ মি

    100✕100

=0.03125 বর্গ মি

∴ রাস্তাটি পাকা করতে ইটের প্রয়োজন

= রাস্তার ক্ষেত্রফল ÷ ইটের ক্ষেত্রফল

=741 ÷ 0.03125

= 23712 টি।

১৫. নিচের চিত্রের তথ্য থেকে বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত চিত্রকে A,B,C,D,E,F,H,G দ্বারা চিহ্নিত করি।

তাহলে, ABCD বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরে EFGH বর্গক্ষেত্র রয়েছে।

EFGH বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = 22 সেমি।

A থেকে H বাহুর দূরত্ব =12 সেমি।

তাহলে C হতে FG বাহুর দূরত্ব 12 সেমি হবে।

সুতরাং, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = 22+12+12 সেমি = 46 সেমি।

আমরা জানি, কর্ণ d= √2a [যেখানে a বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য]

বা,  a=d/√2

বা,  a=46/√2

বা,  a=23√2

∴ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (32√2)²=1058 বর্গ সেমি।

১৬. নিচের চিত্রের তথ্য থেকে বহুভুজ সমূহের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

১ম চিত্রেঃ

এ চিত্রে C বিন্দু হতে CE⊥AB আঁকি।

△ABC এ ∠BCE=90⁰

BE=AB-AE=AB-CD=4-2.4=1.6 সেমি।

সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

CE²+BE²=BC²

বা, CE²+(1.6)²=3²

বা, CE²=9-2.56

বা, CE²=6.44

বা, CE=√6.44

বা, CE=2.54

∴ ADCE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

=AE✕CE

=(2.4✕2.54) বর্গ সেমি

=6.096 বর্গসেমি।

△BCE এর ক্ষেত্রফল

= ½✕BE✕CE

= ½✕1.6✕2.54 বর্গ সেমি

=2.032 বর্গ সেমি

∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ADCE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল+△BCE এর ক্ষেত্রফল

=6.096+2.032 বর্গ সেমি

=8.128 বর্গ সেমি

২য় চিত্রেঃ

পাঠ্যবই এর ২য় চিত্রটি অসম্পূর্ণ, তাই একে ট্রাপিজিয়ামের ধরে সমাধান করা হলোঃ

চিত্রানুযায়ী পাই, ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়

AB=20 সেমি, DC=5 সেমি, এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব AD=12 সেমি।

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

= ½✕(20+5)✕12 বর্গ সেমি

=6✕25 বর্গ সেমি

=150 বর্গ সেমি

৩য় চিত্রেঃ

△ABC এ

                   AC

tan∠ABC=--------

                   BC

বা,  AC=BC. tan∠ABC

বা,  AC=√2.tan60⁰

বা,  AC=√2. √3

বা,  AC=√6

∴△ABC এ ক্ষেত্রফল

= ½.BC.AC

= ½. √6.√2

= ½√12

=1.732 (প্রায়)

আবার,

△ADC এ

                   CD

sin∠CAD=---------

                     AC

বা,  CD=AC.sin∠CAD

বা,  CD=√6.sin30⁰

বা,  CD=√6.½

বা,  CD= ½ . √6

এবং

                    AD

cos∠CAD=---------

                      AC

বা,  AD=AC.cos∠CAD

বা,  AD=√6.cos30⁰

          √3

বা, AD=------✕√6

            2

           √18

বা, AD=-------

             2

বা,  AD= ½.√18

∴△ADC এ ক্ষেত্রফল

= ½.AD.CD

= ½. ½.√18 . ½ .√6

=1.299 (প্রায়)

 আবার,

△ADE এ

                   DE

sin∠ADE=--------

                    AD

বা,  DE= AD.sin∠ADE

বা,  DE= ½.√18.sin30⁰

বা,  DE= ½. √18.½

বা,  DE= ½.½.√18

এবং,

                    AE

cos∠ADE=----------

                      AD

বা,  AE=AD. cos∠ADE

বা,  AE= ½.√18.cos30⁰

বা,  AE= ½.√18.( √3/2)

বা,  AE= ½.√18. ½.√3

∴△ADE এ ক্ষেত্রফল

= ½.AE.DE

= ½. ½.√18. ½.√3. ½.½.√18

= 0.974 (প্রায়)

∴△ABCDE এ ক্ষেত্রফল

=∴△ABC এ ক্ষেত্রফল+△ADC এ ক্ষেত্রফল+△ADE এ ক্ষেত্রফল

= 1.732 +1.299 + 0.974

= 4.003

≈ 4 বর্গ সেমি।

৪র্থ চিত্রেঃ

প্রদত্ত চিত্রে, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র।

AB, BC, CD, AD এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G ও H.

সুতরাং, উৎপন্ন EFGH একটি বর্গক্ষেত্র।

∴ EF=FG=GH=HE=25 সেমি।

F, H যোগ করি। তাহলে সমকোণী ত্রিভুজ FGH হতে,

FH²=FG²+GH²

বা,  FH²=(25)²+(25)²

বা,  FH²=625+625

বা,  FH²=1250

বা,  FH=√1250

বা,  FH=√(625✕2)

বা,  FH=25√2

যেহেতু, BC ও AD এর মধ্যবিন্দু F ও H এবং AB।।FH

সুতরাং, AB=FH=25√2

∴ABCD এর ক্ষেত্রফল

=(25√2)² বর্গ সেমি

=625✕2 বর্গ সেমি

=1250 বর্গ সেমি

Go to Link

Rate This Article

Thanks for reading: SSC (Class 9-10) Math: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (11-16) Part 2, I hope you find it informative!