SSC (Class 9-10) Math: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.৪ ঘনবস্তুর ক্ষেত্র (1-15) Part 1
ঘনবস্তুর ক্ষেত্র:
১. একটি সামন্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সেমি এবং 5 সেমি হলে এর পরিসীমার অর্ধেক কত সেমি?
ক) 12 খ) 20 গ) 24 ঘ) 28
উত্তরঃ ক
২. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
ক) 3√3 খ) 4√3 গ) 6√3 ঘ) 9√3
উত্তরঃ ঘ
৩. সমতলীয় জ্যামিতিতে
(i) সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট।
(ii) সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি এক সমকোণ।
(iii) ত্রিভুজের যে কোণ বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিস্থ কোণ বিপরীত অন্তস্থ প্রত্যেকটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।
নিচের কোণটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
৪. বর্গক্ষেত্রে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং কর্ণ d হলে
(i) ক্ষেত্রফল a2 বর্গ একক
(ii) পরিসীমা 2ad একক
(iii) d=√2a
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ
চিত্রের তথ্য অনুসারে নিচের (৫-৭) প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ
ক) 13 খ) 14 গ) 14.4 ঘ) 15
উত্তরঃ গ
৬. ADF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
ক) 16 খ) 32 গ) 64 ঘ) 128
উত্তরঃ যথাযথ তথ্য না থাকায় প্রশ্নের উত্তর সম্ভব নয়।
৭. AGB অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
ক) 18 খ) 18.85 (প্রায়) গ) 37.7 (প্রায়) ঘ) 96
উত্তরঃ খ
৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার, প্রস্থ 12 মিটার ও উচ্চতা 4.5 মিটার। এর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, a=16 মিটার, b=12 মিটার ও c=4.5 মিটার।
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+ca+bc)
=2(16✕12+4.5✕16+12✕4.5)
=2(192+72+54)
=2✕318
=636 বর্গ মিটার
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√(a2+b2+c2)
=√{(16)2+(12)2+(4.5)2}
=√(256+144+20.25)
=√420.25
=20.5 মিটার
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন
=a✕b✕c
=16✕12✕4.5
=864 ঘন একক।
৯. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 21 : 16 : 12 এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 87 সেমি হলে, ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c.
ধরি, a=21x, b=16x, x=12x
∴আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√(a2+b2+c2)
=√{(21x)2+(16x)2+(12x)2}
=√(441x2+256x2+144x2)
=√(841x2)
প্রশ্নমতে,
√(841x2)=87
বা, {√(841x2}2=(87)2
বা, 841x2=7569
বা, x2=7569/841
বা, x2=9
বা, x=√9
বা, x=3
∴ a=21✕3=63, b=16✕3=48, x=12✕3=36
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর তলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+ca+bc)
=2(63✕48+36✕63+48✕36)
=2(3024+2268+1728)
=2✕7020
=14040 বর্গ সেমি।
১০. একটি আয়তাকার ঘনবস্তু 48 বর্গমিটার ভূমির উপর দন্ডায়মান। এর উচ্চতা 3 মিটার এবং কর্ণ 13 মিটার। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ = b মি.
∴ভূমির ক্ষেত্রফল ab= বর্গ মি =48 বর্গ মি
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা c=3 মি হলে,
13=√(a2+b2+c2)
বা, 169=a2+b2+c2
বা, 169=a2+b2+32
বা, 169=a2+b2+9
বা, a2+b2=169-9
বা, a2+b2=160
বা, (a+b)2-2ab=160
বা, (a+b)2=160+2ab
বা, (a+b)2=160+2✕48 [ab=48]
বা, (a+b)2=256
বা, a+b=16…………(i)
আবার,
a2+b2=160
বা, (a-b)2+2ab=160
বা, (a-b)2=160-2ab
বা, (a-b)2=160-2✕48
বা, (a-b)2=64
বা, a-b=8……………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2a=24
বা, a=24/2
বা, a=12
(i)-(ii) করে পাই,
2b=8
বা, b=8/2
বা, b=4
∴আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য=12 মিটার ও প্রস্থ=4 মিটার।
১১. একটি আয়তাকার কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সেমি, 6 সেমি ও 4 সেমি। এর ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি। বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, কাঠের পুরুত্ব= x সেমি
∴ বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য a=(8-2x) সেমি
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ b=(6-2x) সেমি
এবং বাক্সের ভিতরের উচ্চতা c=(4-2x) সেমি
∴ বাক্সের ভিতরের সমগ্র পৃষ্টের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca)
=2{(8-2x)(6-2x)+(6-2x)(4-2x)+(4-2x)(8-2x)}
=2(48-12x-16x+4x2+24-8x-12x+4x2+32-16x-8x+4x2)
=2(12x2-72x+104)
প্রশ্নমতে,
2(12x2-72x+104)=88
বা, 12x2-72x+104=44
বা, 12x2-72x+104-44=0
বা, 12x2-72x+60=0
বা, 12(x2-6x+5)=0
বা, x2-6x+5=0
বা, x2-5x-x+5=0
বা, x(x-5)-1(x-5)=0
বা, (x-1)(x-5)=0
বা, x-1=0 অথবা, x-5=0
বা, x=1 বা, x=5
যেহেতু বাক্সের বাইরের উচ্চতা 4 সেমি সেহেতু ভেতরের উচ্চতা 5 সেমি হতে পারে না।
∴ বাক্সের পুরুত্ব 1 সেমি।
১২. একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 25 মিটার, উচ্চতা 6 মিটার এবং পুরুত্ব 30 সেমি। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 10 সেমি, প্রস্থ 5 সেমি এবং উচ্চতা 3 সেমি। দেয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্র্যোজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য=25 মিটার=2500 সেমি
প্রস্থ=6 মিটার=600 সেমি
পুরুত্ব=30 সেমি
∴দেওয়ালটির আয়তন
=দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ✕পুরুত্ব
=(2500✕600✕30) ঘন সেমি
=4500000 ঘন সেমি
আবার, একটি ইটের দৈর্ঘ্য=10 সেমি
প্রস্থ=5 সেমি
পুরুত্ব বা উচ্চতা =3 সেমি
ইটের আয়তন
=10✕5✕3 ঘন সেমি
=150 ঘন সেমি
∴দেওয়ালটি তৈরিতে ইট প্রয়োজন
4500000
=300000 টি
১৩. একটি ঘনক আকৃতির বস্তুর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল 2400 বর্গ সেমি হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
ঘনকের দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা
ধরি, দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা=a
∴ ঘনক আকৃতির বস্তুর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
=2(a2+a2+b2)
=2.3a2
=6a2
প্রশ্নমতে,
6a2=2400
বা, a2=2400/6
বা, a2=400
বা, a=√400
বা, a=20
∴ঘনক আকৃতির বস্তুর কর্ণ
=√(a2+a2+a2)
=√(3a2)
=√(3.202)
=√(3.400)
=√1200
=34.641 সেমি (প্রায়)
১৪. 12 সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সেমি। এর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r= 5 সেমি
এবং উচ্চতা h=12 সেমি
তাহলে, বেলনের সম্পুর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
=2 π r(h+r)
=2✕3.1416✕5✕(12+5)
=2✕3.1416✕5✕17
=534.072 বর্গ সেমি।
এবং বেলনের আয়তন
= πr2h
=3.1416✕(5)2✕12
=3.1416✕25✕12
=942.48 ঘন সেমি
১৫. একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গসেমি এবং আয়তন 150 ঘন সেমি। বেলনের উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি
তাহলে,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ সেমি
এবং বেলনের আয়তন = πr2h ঘন সেমি
প্রশ্নমতে,
πr2h=150……….(i)
এবং
2πrh=100
বা, πrh=50……….(ii)
(i) ÷(ii) করে পাই,
r=3
(ii) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
π✕3✕h=50
বা, 3.1416✕3✕h=50
বা, 9.4248✕h=50
বা, h=50/9.4248
বা, h=5.3052 সেমি।
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সেমি
এবং বেলনের উচ্চতা = 5.3052 সেমি
এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.৪ ঘনবস্তুর ক্ষেত্র (16-21) Part 2
Rate This Article
Thanks for reading: SSC (Class 9-10) Math: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.৪ ঘনবস্তুর ক্ষেত্র (1-15) Part 1, I hope you find it informative!